2.6 光波在非线性介质中的传播

强度较弱的光场（如普通光源的光场）与物质相互作用时，物质对光场仅呈现线性响应。用线性极化强度矢量P=ε0χ1E描述这种相互作用（χ1为线性电极化率）。产生的各种光学现象，如折射、散射、吸收等与光场呈线性关系；而表征物质光学性质的许多特征参量，如折射率、吸收系数、散射截面等可看成是与光场强度无关的常量。描述光波在物质中的传播及光波与物质相互作用的宏观麦克斯韦方程组也是一组线性微分方程组，即只含光场强度矢量的一次项。因此，单一频率的光波在非吸收的透明介质中传播时频率不变；光的叠加原理及光传播互不干扰性成立。这就是已为人们所熟悉的线性光学内容。

激光出现后，这种强光场足以体现物质对光场的非线性响应。这种与光强有关的光学效应，通常称为非线性光学效应。在对它的描述中，将非线性光学介质中感应极化强度P展开为外光场E的幂级数形式，即

式中，为线性电极化率；为二次非线性电极化率；^为三次非线性电极化率。

许多实验证实了非线性效应能引起不同频率的光场之间能量的交换，而呈现出多种新的光学现象和新的光学效应。诸如光倍频、光混频（和频、差频）、光参量振荡、受激散射、多光子吸收、自聚焦、相位共轭、光学双稳态等，这些均具有很大的实用价值和科学意义。实际上，我们在2.2节和2.4节所讨论的内容也是两种非线性光效应的应用。这里我们就一般意义上讨论光波在非线性介质中的传播问题。

2.6.1 非线性电极化率

由式（2-115）可知，在强光辐射场作用下，介质的感应极化强度P包括线性项和非线性项两项之和，即，取，则考虑非线性作用的波动方称为

式（2-116）说明，只要求出非线性极化强度PN L，就可在一定的边界条件下求解麦克斯韦方程组，从而求得非线性辐射场。而非线性介质中的感应极化强度P是式（2-115）的幂级数形式，其中为介质的非线性电极化率，它描述了非线性介质对外光场的响应特性，是非线性光学中最基本的、最重要的物理量。下面用经典谐振子模型，导出非线性电极化率的表达式，并简单介绍其基本特性。

“物理光学”用经典线性谐振子模型导出了线性极化率的表达式

式中，γ为阻尼系数；ω0为振子的固有频率；e为电子电荷；N为电子密度；m为电子的质量。对于非线性极化，可以考虑在谐振子恢复力中存在着小的非谐和力，这时振子的运动方程可以在线性谐振子运动方程中加上非谐和项。若用A表示非谐和效应参数，则非简谐运动方程为

当给定电场E（t），解出r，由感应极化强度P=Ner及P和电场E的幂级数形式，就可求出P和电极化率。

由于式（2-118）是非线性的，求解十分困难。一般来说，式中非谐和项Ar2是比较小的，因此，可采用微扰法对方程逐级近似求解。考虑频率为ω1和ω2的光场

由式（2-115）定义二阶非线性电极化率，可解得

由以上各个解看出，非线性响应的特点是频率为ω1和ω2的光场在非线性介质中感应的电极化强度，不仅具有频率ω1和ω2的分量，还具有频率为2ω1，2ω2，ω1±ω2的分量。这些极化强度分量作为次波辐射源，将辐射出2ω1，2ω2，ω1±ω2的电磁波，这就是非线性光学中的倍频、和频以及差频等光学效应。同理，也可解出更高阶的非线性电极化率，高阶的非线性极化强度将辐射出更高次谐波。可以看出，二阶非线性极化率的色散特性取决于三个频率ω1、ω2和ω1±ω2（ω3）。这三个频率中的某个频率趋于谐振子的固有频率ω0时，非线性极化率会变得很大，非线性作用大大增强，称为共振增强。

式（2-115）中的第一项表示线性电极化。对于各向同性介质，线性电极化率是一个与方向无关的常数；对于各向异性介质，极化强度P不但与外加电场的强弱有关，而且与其方向有关。在三维空间，某方向的光波场不仅导致该方向的极化，而且导致其余两个方向的极化，不再是常数，而是一个把两个矢量P和E联系起来的二阶张量。同理，二阶非线性电极化率是一个把P、Ej和Ek三个矢量联系起来的三阶张量。故极化强度P和电场强度E的二阶关系应表示为

概括地说，各阶非线性极化相应的极化率是依次的高阶张量，式（2-115）应改写成

式中，各阶极化率张量…总是依次减弱，差几个数量级，例如，一般比低七八个数量级。鉴于主要讨论二阶非线性光学效应，所以仅讨论极化。率张量

在远高于离子共振频率处，极化仅由电子位移引起，而离子的贡献可忽略（如近红外、中红外、可见光波段）。另外，若非线性介质无损耗（即参与非线性过程的所有场的频率都低于电子吸收带），则可证明非线性极化率张量具有完全互易对称性，克莱曼（Kleinman）首先指出的这种性质。显然利用完全互易对称性，的独立张量分量可进一步减少。

极化率张量是描述介质对光场响应特性的，因此介质本身结构的空间对称性将限制非线性极化率张量的独立分量个数。例如，可以证明11种具有中心对称结构的晶体，其三阶非线性极化率张量的所有独立分量皆为零。其他21种不具有中心对称的晶体，由于受空间对称性的限制，使某些独立分量为零，某些独立分量彼此相等或数值相等符号相反，其独立的张量分量已很少（可以查阅有关手册和资料）。

2.6.2 光波在非线性介质中的传播

非线性光学现象实质上是辐射场与介质的非线性互作用所致。各种非线性现象的具体规律必然与电磁波在非线性介质内的传播规律密切相关。

设相互作用的光波为单色平面波，则其振幅不随时间而变化。此时，光波电场与极化强度分别表示为

假设光波沿

z方向传播，则由式（2-115）可得到相应每个频率分量的波动方程

由于非线性激励项对线性效应影响甚小，所以在求解上述方程时，把非线性激励项作为一种微扰处理。因此，在与光波相比拟的空间范围内，参与非线性耦合作用的单色平面波的振幅相对变化很小，即可用慢变化近似。将E（ωn，z）=enEnexp（iknz）（en为光波偏振分量的单位矢量）代入式（2-125），并略去d2E（ωn，z）/dz2项，得

这就是描述电磁波在非线性介质内彼此间产生参量互作用的基本关系式——耦合波方程。

假设非线性介质中三个波的频率分别为ω1，ω2，ω3（ω1+ω2），其波矢量都沿z方向。在非线性作用下介质内产生这三个频率的非线性极化强度可写为

利用式（2-126）和式（2-127），可得到三波耦合方程

式中

Δk=k1+k2-k3

三波耦合波方程组说明，在非线性介质内三波互作用过程中，某频率的光波随传播距离的变化率是另两个频率的光波场强的函数，即不同频率的光波在非线性介质中，可以发生能量的互相转移，这种能量的相互转移是通过非线性介质的有效非线性电极化率χef来耦合的。

2.6.3 光混频及光倍频技术

自弗兰克（Franken）等人在1961年用红宝石激光通过石英晶体检测到倍频光后，一些科学工作者又观察到了两束激光之间的混频现象（和频、差频）。乔特迈（Giordmine）和迈克尔（Maker）等人提出了相位匹配技术，使光倍频和光混频技术得到了飞跃的发展，成为光学频率转换的重要手段。例如，通过倍频技术可将波长1.064μm的红外激光转换成波长0.532μm的绿光，再通过倍频，则可得到波长0.266μm的紫外光。波长1.064μm的激光分别与波长0.532μm和0.266μm激光混频，可获得三次谐波（0.353μm）和五次谐波（0.212μm）的激光。这些波段的激光，可用于激光医学、海洋探潜、核聚变等，还可作为可调谐染料激光器、掺钛蓝宝石激光器、光参量振荡器或受激拉曼（Raman）散射频移器的泵浦源。下面我们求解光混频和倍频的小信号稳态解。

1.光混频及光倍频的转换效率

仍考虑三波耦合过程，并设由频率为ω1和ω2的光波混频产生ω3=ω1+ω2频率的光波。在小信号近似条件下，可以近似认为在光混频过程，频率为ω1和ω2的光波场的强度改变量很小，在三波混频过程中可视为常数。那么三波耦合方程组式（2-128）中只剩下频率为ω3光波的一个方程

如果设非线性介质长为L，在入射端z=0处，E3=0，则对式（2-129）积分，并以ω3=2πc/λ3，k3=2πn3/λ3代入得

在折射率为n的介质中，光强（即功率密度），所以式（2-130）可用光强表示为

以上推导的是和频过程。只要以-ω2代替ω2，以似的结果。代替E2，就是差频过程，可以得到完全类

当ω1=ω2=ω，ω3=2ω时，就是倍频过程。在倍频过程中通常把频率为ω的光波称为基波，频率为2ω的光波称为倍频波，或二次谐波。倍频的光强为

式中，def为有效非线性系数，与χef的关系为。

一般用输出的倍频光强与基波的光强之比表征转换效率，称为倍频转换效率ηSHG，即

式（2-132）和式（2-133）表明：若相关相位因子sin（ΔkL/2）/（ΔkL/2）=1，则光波混频所产生的新频率的光功率（或倍频光功率）与两输入光强的乘积（或基波光强的平方）成正比；当输入光强（或基波光强）一定时，则与非线性介质的长度L和有效非线性极化率（χef）或有效非线性系数（def）的平方成正比。

2.相位匹配条件及原理

由以上讨论可知，当Δk=0时，相位因子等于1，称为相位匹配条件；而当Δk≠0时，相位因子小于1，称为相位失配。可见，只有在相位匹配条件下，才能获得最高的转换效率。所以在实际光学倍频和混频应用中，为了获得较高的转换效率，要考虑相位匹配条件。

实现相位匹配的方法有利用晶体的双折射性质的角度相位匹配和晶体的折射率随温度变化的温度相位匹配。下面以负单轴晶体（no>ne）角度相位匹配为例简要说明相匹配的原理。

如果选两个基频波（ω）都为o光，倍频波为e光，称为Ⅰ类匹配，用o+o→e表示。这时相位匹配条件为

欲使Δk=0，必须选择合适的入射角θ=θI，使。由折射率椭球图2-23来看，若，总会存在一个角度θI，使。因此如果o偏振的基频波沿θI方向传播，则在同一方向产生e偏振的倍频光。

如果选两个基频波（ω）分别为o光和e光，倍频波为e光，称为Ⅱ类匹配，用o+e→e表示。这时相位匹配条件为

欲使Δk=0，则要求。

用同样的方法还可以讨论其他类型晶体的角相位匹配。