2.3 复指数信号
使用正弦信号作为基本信号进行频谱分析时会涉及三角函数运算，比较烦琐。
欧拉发现欧拉公式之后，人们开始注意到复指数信号。复指数信号作为基本信号进行频谱分析时使用复指数运算，比较简洁，很快取代了正弦信号的基本信号地位。
一、欧拉公式
著名的欧拉公式：
ejθ=cosθ+j sinθ
1．欧拉公式的几何意义
cosθ+j sinθ是一个复数，实部为cosθ，虚部为sinθ，在复平面上对应单位圆上的一个点。根据欧拉公式，这个点可以用复指数ejθ表示，如图2-7所示。
图2-7 欧拉公式的几何意义
2．欧拉公式的证明
下面利用泰勒级数展开对欧拉公式进行证明。
令z=jx，则
推导过程中用到了：
证明完毕。
二、如何理解复数
欧拉公式涉及复数，如何理解复数呢？
1．复数的几何意义
为了便于理解，通常用复平面上的向量来表示复数。
复指数ejθ对应的向量：始端为原点，长度为1，辐角为θ，如图2-8所示。
引入向量之后，复数与复指数ejθ相乘就可以用向量旋转来理解。
复数：z=r(cos φ+j sin φ)
直接套用欧拉公式，可得：z=rejφ
复数z与复指数ejθ相乘：
zejθ=rejφejθ=rej(φ+θ)
图2-8 复指数信号的向量表示
也就是说：
复数与复指数ejθ相乘，相当于复数对应的向量旋转角度θ：
θ>0逆时针旋转
θ<0顺时针旋转
如图2-9所示。
图2-9 复数与复指数相乘的向量表示
2．如何理解虚数
复指数ejθ中引入了虚数j，如何理解这个虚数j呢？
讲到这里也许有人会问：数学中的虚数一般用“i”表示，为何物理中一般用“j”表示呢？这是因为物理中经常用“i”表示电流。
关于虚数，如果追溯起来，在高中的时候我们就接触过了。具体说来，应该是在解一元三次方程的时候涉及的。
已知：x3-2x2+x-2=0
求：x
解：
由：x3-2x2+x-2=0
得：x2(x-2)+x-2=(x-2)(x2+1)=0
由：x-2=0
得：x=2（实根）
由：x2+1=0，x2=-1
得：x=±i（虚根）
感觉高中课本纯粹就是为了给x2=-1一个解，才定义了虚数i，其平方为-1，至于虚数i有什么物理意义就不得而知了。
按一般的理解：一个数和它自己相乘，应该得到一个正数才对，例如：2×2=4，(-1)×(-1)=1。为什么虚数i和自己相乘会得-1呢？
虚数刚被提出时，也曾经困扰了很多数学家，被大家认为是“虚无缥缈的数”，直至欧拉发现“欧拉公式”后，人们才对虚数的物理意义有了清晰的认识。
下面我们来看看如何利用欧拉公式理解虚数。
在欧拉公式中，令
，得：
即：
复数与j相乘，就是与复指数
相乘，相当于复数对应的向量逆时针旋转90°。
也就是说，复数与j相乘的过程，也就是向量旋转的过程，如图2-10所示。
图2-10 虚数的平方等于-1的向量表示
根据前面的分析，可以得到：
实数1对应的向量逆时针旋转90°，得到虚数j，即：1×j=j
虚数j对应的向量再逆时针旋转90°，得到实数-1，即：j×j=j2=-1
至此，我们解释清楚了为什么虚数j的平方等于-1。
三、如何理解复信号
当θ以角速度ω0随时间变化时，复指数ejθ就成了复指数信号。
复指数信号：
，其中A是幅度，ω0是角速度，φ是初相，如图2-11所示。
图2-11 复指数信号表达式
如何理解这个复指数信号呢？
1．复指数信号的几何意义
复平面上的一个长度为A的旋转向量，始端位于原点，从角度φ开始，以角速度ω0围绕原点旋转，其末端在复平面上的轨迹就是复指数信号
。
0时刻：复指数信号s(0)=Aejφ，对应的向量如图2-12所示。
t时刻：复指数信号
，对应的向量如图2-13所示。
图2-12 复指数信号对应的旋转向量（0时刻）
图2-13 复指数信号对应的旋转向量（t时刻）
假定：A=1，ω0=2π，φ=0
则：s(t)=ej2πt，这个复指数信号随时间变化的轨迹如图2-14所示。
这个复指数信号在复平面上的投影是个单位圆，如图2-15所示。
图2-14 复指数信号随时间的变化轨迹
图2-15 复指数信号在复平面上的投影
这个复指数信号在实轴（x轴）上的投影随时间变化的曲线如图2-16所示。
这个复指数信号在虚轴（y轴）上的投影随时间变化的曲线如图2-17所示。
图2-16 复指数信号在实轴上的投影随时间变化的曲线
图2-17 复指数信号在虚轴上的投影随时间变化的曲线
由复指数信号在复平面上的投影是个圆，很容易让人想起物理中学过的李萨育图形。
2．李萨育图形
使用互相成谐波频率关系的两个信号x(t)和y(t)分别作为X和Y偏转信号送入示波器，如图2-18所示。
图2-18 示波器工作原理
这两个信号分别在X轴、Y轴方向同时作用于电子束而在荧光屏上描绘出稳定的图形，这些稳定的图形就叫“李萨育图形”，如图2-19所示。
图2-19 李萨育图形
各种李萨育图形对应的X轴和Y轴输入信号、电子束运动轨迹函数如表2-1所示。
表2-1 示波器输入信号和电子束运动轨迹函数
表中第一个李萨育图形实质就是复指数信号ej2πft在复平面上的投影。
再来看一下第二个李萨育图形，其实质就是复信号f(t)=cos(2πft)+j sin(4πft)在复平面上的投影，如图2-20所示。
图2-20 一个复信号的三维波形
3．什么是复信号
通过上面的讲解，可以发现：
复信号的本质就是并行传输的2路实信号。之所以被称为复信号，只是因为这个信号可以用复数来表示而已。
假定：x(t)和y(t)是并行传输的2路实信号。
这两路实信号用一个复信号来表示就是：
f(t)=x(t)+jy(t)
需要注意的是：
引入复信号只是为了便于描述和处理信号而已，实际通信系统中都是并行传输2路实信号，并没有传输虚数j。
如图2-21所示。
图2-21 复信号的传输
四、复指数信号的特性
1．复指数信号的积分特性
复指数信号有一些很好用的性质，积分特性就是其中一个：
对一个复指数信号做积分，当积分区间取复指数信号周期的整数倍时，积分结果为零。
复指数信号：
在整数个周期内做积分：
根据正弦信号的积分特性，上式的积分结果为0，即
其中，
n是整数；
T0是复指数信号的周期：
。
2．复指数信号的正交特性
复指数信号的另外一个很好用的性质是正交特性：
复指数信号集合{ejω0t，ej2ω0t，ej3ω0t，…}由基波ejω0t和二次谐波ej2ω0t等各次谐波组成。
在这个复指数信号集合中：
- 任意1个复指数信号与另1个复指数信号共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为0。
- 任意1个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为T0。
证明：
当m≠n时，根据正弦信号的积分特性，上式的积分结果为0
即：
当m=n时，余弦项变为1，正弦项变为0，得：
即：
证明完毕。