第十六章　第二型曲线积分与第二型曲面积分

§1　第二型曲线积分

我们已经熟悉了“对弧长”的曲线积分——第一型曲线积分.这里再来讨论“对坐标”的曲线积分——第二型曲线积分.

l. a定义与性质

一条参数曲线

总是可以定向的.例如我们可以选择参数t增加的方向为曲线的正方向.指定了正方向的一条曲线被称为有向曲线.

设在空间某区域Ω中有一个力场

设有一个单位质量的质点在这力场中沿一条曲线γ从A点移动到b点.我们来考查力场对这质点所做的功.请注意，在这样的问题中，应该把γ看作是从A到B的有向曲线.因为沿同一条曲线，从B移动到A所做的功，与从A移动到B所做的功，一般是不同的（符号正好相反）.

设曲线γ的参数方程为

给参数区间一个分割

于是曲线γ被分成n小段.在第j小段上，力场对质点所做的功可以近似地表示为

这里

于是，力场对这质点所做的功可以近似地表示为：

当|π|→0时，上式的极限就应是所求的功W：

设P（x, y，z），Q（x, y，z）和R（x, y，z）是F（x, y，z）在三个坐标轴方向的分量，则（1.1）式又可以写成以下形式：

从以上讨论得到启发，引出了第二型曲线积分的定义.

设γ是一条连续参数曲线

为确定起见，我们假定参数增加方向为曲线的正方向.

定义　设γ是如上所述的一条有向连续曲线，P（M）=P（x, y，z）是在γ上连续的一个数值函数.给曲线γ的参数区间[α，β]任意一个分割

于是γ被剖分为曲线段

这里

在每一曲线段γj上任意选取一点

然后作和数

当|π|→0时，和数（1.2）的极限（如果存在）就定义函数P沿有向曲线γ对x坐标的曲线积分，记为

用类似的方式，可以定义函数Q对y坐标的曲线积分和函数R对z坐标的曲线积分：

以上这些对坐标的曲线积分，统统被称为第二型曲线积分.我们还约定记

这积分的向量式写法是

其中

如果有向曲线γ的始端与终端相衔接，那么我们就说γ是一条闭有向曲线.对于沿闭有向曲线的积分，常常把积分号写作例如

等等.

从定义容易看出，第二型曲线积分具有以下重要性质（假定各等式右端的积分存在）：

1.线性

——这里α和β是常数；

2.可加性

设γ1和γ2是两有向曲线，γ1的终端就是γ2的始端，我们用记号γ=γ1+γ2表示由γ1和γ2连接起来作成的有向曲线，则有

3.有向性

如果用记号——γ表示由有向曲线γ反转定向而得到的有向曲线，那么就有

注记　平面曲线

可以看做空间曲线的特殊情形.沿这样的曲线显然有

——因为沿这曲线因而，对于平面曲线γ，只须考虑以下形式的积分：

l. b第二型曲线积分的计算

设γ是一条连续可微的参数曲线，它的向量方程为

用分量表示，曲线γ的方程可以写成

为确定起见，我们假定γ以参数增加的方向为正方向.

定理　设γ是如上所述的一条有向曲线，P, Q和R是在γ上连续的函数.则有

证明　因为x'（t）在闭区间[α，β]上有界，可设

又因为复合函数P（x（t），y（t），z（t））在闭区间[α，β]一致连续，所以对任何ε＞0，存在δ＞0，使得只要

就有

对于[α，β]的分割

和任意选取的

只要

就有

这证明了

至于对y坐标的和对Z坐标的另外两个积分，可以用相同的办法处理.□

例1　设质量为m的质点沿任意连续曲线γ从空间位置A移动到位置B.试计算重力对这质点做的功W.

解　设在OXYZ直角坐标系中，OZ轴是竖直向上的.则功W可以表示为

根据定义容易得到

因而

我们看到：重力场对质点所做的功，只与起点与终点的位置有关，与经过的路径无关.

例2　试计算

这里C是OXY平面上中心在原点半径为a的圆周，E是以OX轴和OY轴为对称轴并且两半轴长度分别为a和b的椭圆周.

解　我们写出C的参数方程

用上面定理中的公式进行计算得

同样可得

在例2中，我们看到，对于γ=C或者γ=E的情形，积分

正好等于γ所围图形的面积.这一结论可以推广于很一般的情形，我们将在以后作进一步的讨论.

例3　试计算

这里C和E如例2中所述.

解　用参数表示进行计算得

同样可得

例4　试计算

这里C同上两例中所述.

解　用参数表示进行计算可得

例5　试计算

这里H是k圈螺旋线：

解　我们有

l. c与第一型曲线积分的联系

考查连续可微曲线C：

这里假设

我们约定以参数增加的方向为曲线C的正方向.于是，沿C正方向的切线单位向量为

我们把这向量的分量cosα，cosβ，cosγ叫做有向曲线C的方向数：

设函数P（x, y，z），Q（x, y，z）和R（x, y，z）在曲线C上连续，则有

这样，借助于方向数cosα，cosβ和cosγ，我们把第二型曲线积分形式上表示为第一型曲线积分

请注意，第二型曲线积分与第一型曲线积分相比较，有一个根本不同之处：第二型曲线积分是有向的，而第一型曲线积分是无向的.在上面的公式中，之所以能用第一型曲线积分表示第二型曲线积分，是因为在被积函数中引入了方向数——当曲线反转定向时，各方向数都改变符号.