§7　恰当微分方程与积分因子

微分方程式

可以改写成

这种写法的更一般形式是

将一阶微分方程写成这样的形式，对于探寻初等积分方法，有时比较方便.

7.a恰当微分方程

首先考查这样的情形：方程（7.2）的左端是一个恰当的微分式.我们把这样的方程叫做恰当微分方程或者全微分方程.对这种情形，存在连续可微函数使得

于是，方程（7.2）的任何一个解y=（x）必定使得

因而满足

——这里C是常数.反过来，由于（7.3）式，任何满足（7.4）的连续可微函数也必定满足方程（7.2）.我们求得了用隐函数形式表示的方程（7.2）的一般解

这里C是一个任意常数.像这样的用隐函数形式表示的解，通常叫做“积分我们得到以下结论：

定理1　恰当微分方程

的通积分为

这里U（x, y）是方程左端微分式的一个原函数，C是任意常数.

上节中的讨论，实际上已经解决了以下两个基本问题（特别是对单连通区域的情形）：

一、怎样判断像（7.2）那样的方程是否恰当微分方程？

二、如果（7.2）是一个恰当的微分方程，那么我们怎样具体求出方程左端微分式的原函数？

因此，恰当微分方程的求解问题，可以认为是已经解决了.

具体求解的时候，常常可以通过观察直接写出原函数来.要做到这一点，需要十分熟悉微分的运算法则，并善于将微分式分组.请看下面的例子.

例1　求解方程

解　将方程左端的微分式分成两组：

很容易看出：第一组微分式的一个原函数是x ey第二组微分式的一个原函数是y2.因而原方程左端微分式的一个原函数是

原方程的通解（通积分）为

例2　求解方程

解　原方程左端可按以下办法分组

容易求出上式的原函数

原方程的通解为

以下一些公式当然是需要熟记的：

应该指出，观察法求原函数虽然很省事，但这方法依赖于技巧和熟练，并不是每次都能成功的.另外，除了简单的情形而外，不容易一眼就看出方程是否恰当的.如果盲目去做，可能会误入歧途.因此，上节所介绍的恰当微分式的判别法和原函数的求法.是必须牢固掌握的.

7.b积分因子

恰当微分方程要求左端的微分式凑巧是一个全微分.这种情形并不多见.对一般的方程

我们可以用适当的非零因子去乘等号两边，把它化成

这里

如果这样得到的方程（7.7）是一个恰当微分方程，那么我们就说μ（x, y）是方程（7.6）的一个积分因子.

我们指出一个重要的事实：任何形如（7.6）的方程，都必定具有积分因子.但这一事实的证明，涉及到一阶偏微分方程理论，我们这里不能讲述.而且理论上的证明，只是肯定了积分因子的存在性，并没有告诉具体求出这因子的办法，对实际解题未必有很多帮助.下面将要介绍的，是求积分因子的某些具体办法.对于一阶微分方程来说，积分因子法概括总结了主要的初等积分法，因而给我们提供了一个很好的复习机会.

例3　可分离变元的一阶微分方程.

这种方程的一般形式为

如果M2（y）N1≠0，那么这方程就有积分因子

用这因子乘方程两边就可将变元分离：

上式左端是一个恰当形式，它的一个原函数为

因而原方程的通解为

例4　考查一阶线性方程

这方程具有积分因子

以这因子乘原方程，就把它化成了可积分的形式

一个函数M（x,y）被称为k次齐次函数，如果它满足这样的条件

连续可微的k次齐次函数M（x,y）满足以下的欧拉恒等式：

事实上，只要将（7.8）的两边对t求导，然后代进t=1，就可得到（7.9）式.

在下面的例子中，我们考查系数为齐次函数的微分方程.

例5　设M（x,y）和N（x,y）都是k次齐次函数，则微分方程

具有积分因子

这里设xM+yN≠0

证明　首先，引入记号

我们来证明

计算得

所得两式相减，并利用恒等式（7.9），就得到

因而，在任何单连通区域上，Pdr+Qdy都是恰当微分形式.

例6　求解方程

解　上面的方程可以改写为

由例5可知，这方程有积分因子

下面，我们来求解恰当方程

这方程又可写成

即

积分这方程就得到

也就是

实际解题时，常常用到分组求积分因子法.下面，我们就来说明这种方法.

设是微分式

的一个积分因子，并设

如果φ是一个一元连续函数，它能够与函数U复合，那么

也是微分式（7.10）的一个积分因子.事实上，我们有

这里Φ是φ的原函数.

我们来考查方程

设这里的两组微分式分别具有积分因子μ1和μ2，并设

如果我们能选取连续函数μ1和μ2，使得

那么

就是两组微分式共同的积分因子，因而是

的积分因子.

实际解题时，采取灵活变通的做法，往往能更快地凑出积分因子来.

例7　求解方程

解　将这方程改写为

很容易看出一个积分因子

用这因子乘方程两边，就得到

我们求得原方程的通解

例8　求解方程

解　这方程可改写为

形状如φ（xy）的函数都是前一组的积分因子.我们选择φ以使φ（xy）也是后一组的积分因子.容易看出，只要取

就能达到目的.以因子

乘方程两边就得到

积分得

另外，因为我们乘了因子可能会失掉x=0或y=0这样的

解　经检验，x=0和y=0都是原方程的解^[4].

例9　求以OX轴为旋转轴的旋转面，使得这样的镜面把放在原点的光源发出的光反射成平行于OX轴的光束.

解　参看图16-21.根据条件应有

于是

但

所以有

解　这个关于dy/dx的二次方程，我们得到

由此得到

容易看出这方程的一个积分因子

以这因子乘之，就得到

积分得

由此得到

即

这是以原点为焦点的拋物线族.在学习一元函数微分学时，我们已经知道拋物线具有这种光学性质.现在，我们又证明了逆命题：具有这种光学性质的曲线只能是以上抛物线族中的一条抛物线.