1.2 数列的极限

1.2.1 数列极限的定义

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的. 例如，我国三国时期的数学家刘徽（公元前3世纪）为计算圆的面积，采用了“无限逼近”的思想，发明了“割圆术”. 他依次计算圆的内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，得到一个面积值的数列A1，A2，A3，A4，…，An，…，当边数n越来越大时，内接正n边形的面积就越来越接近圆的面积πr2. “割圆术”里就蕴含了数列极限的思想.

在介绍极限概念之前，先说明数列的概念. 如果按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的实数xn，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列

x1，x2，…，xn，…

就叫做数列，简记为{xn}，数列中的每一个数称为数列的项，第n项xn称为数列的一般项或通项. 例如数列

数列{xn}可以看作是以正整数集N+为定义域的一种特殊的函数

xn=f（n），n∈N+.

当自变量n依次取1，2，3，…时，对应的函数值就排列成数列{xn}.

考察数列的极限，就是判断当自变量n无限增大时，数列xn=f（n）是否能无限接近于某个确定的常数？如果能够，这个常数等于多少？

我们对数列

进行分析. 在这个数列中，

因为xn与常数1之间的距离可以表示为

显然，当n越来越大时，|xn-1|越来越小，从而xn就越来越接近于1. 因为只要n足够大，可以小于任意给定的正数. 所以说，当n无限增大时，xn无限接近于1. 例如，给定，欲使，只要n>100，即从第101项起，都能使不等式

成立. 同样的，如果给定，即从第10001项起，都能使不等式

成立. 一般的，不论给定的正数ε多么小，总存在着一个正整数N，使得当n>N时，不等式

|xn-1|<ε

都成立. 这就是数列当n→∞时无限接近于1的实质. 数1称为数列当n→∞时的极限.

为此，我们引入数列极限的定义：

定义1.2.1　设数列{xn}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式

|xn-A|<ε

都成立，则称A为数列{xn}的极限，也称数列{xn}收敛于A，记为

或

xn→A（n→∞）.

如果不存在这样的常数A，则称数列{xn}极限不存在，也称数列{xn}发散.

对于数列极限的定义应注意以下几点：

（1）ε的任意性　ε是任意给定的正数，用来衡量xn与A接近的程度，ε究竟小到什么程度是没有限制的. 只有正数ε可以任意小，才能使不等式|xn-A|<ε精确地刻画xn无限接近于A的实质。然而，尽管ε有任意性，但它一经给出，就应暂时看作固定不变的，以便根据它来求N. 再者，ε既然可以是任何正数，那么它也可用2ε，3ε或ε2来代替.

（2）N的存在性　N是与ε有关的正整数，用来刻画保证不等式|xn-A|<ε成立需要n有多大的程度. 一般地，ε越小，N越大. 定义中重要的是N的存在性，而不在于它到底取何值. 当N存在时，它的取值不唯一，可取比它大的任何正整数，因此我们确定时，经常将|xn-A|作适当的放大处理，使问题简单化. 同样的，N也未必要求是正整数，只要是正数即可.

（3）收敛数列的简明图形　如果用数轴上的点来表示收敛数列{xn}的各项，就不难发现：不论正数ε多么小，所以下标大于N的xn，都落在A的一个邻域U（A，ε）内（图1-2-1），而在此邻域之外，至多只有N项（有限项）.

利用收敛数列的简明图形不难推测数列{n2}与{（-1）n}都是发散的，因为它们不是几乎全体的点（至多有限个点除外）都能聚集在某一个点的任意小邻域内.

例1.2.1　证明.

证　对∀ε>0，要使

而，所以只要使，当n>N时，总有|xn-A|<ε，所以.

例1.2.2　设|q|<1，证明等比数列

1，q，q2，…，qn-1，…

的极限为0.

证　如果q=0，结论显然. 因此我们只要证明0<|q|<1的情形. 由于

|xn-A|=|qn-1-0|=|q|n-1，

因此对∀ε>0（0<ε<1），要使|xn-A|<ε，只要|q|n-1<ε. 两边取自然对数，得

取正整数，当n>N时，有|xn-A|<ε，所以.

1.2.2 收敛数列的性质

定理1.2.1（唯一性） 收敛数列的极限唯一.

证　反证法. 假设收敛数列{xn}有两个不同的极限A，B，不妨设A<B. 由于，所以对，存在正整数N1，当n>N1时，总有

同理，因为，所以对上述，存在正整数N2，当n>N2时，总有

取N=max{N1，N2}，当n>N时，上述两个不等式同时成立，从而有

0<B-A=|（xn-A）-（xn-B）|≤|（xn-A）|+|（xn-B）|<B-A，

上式是矛盾的，因此收敛数列的极限必是唯一的.

定理1.2.2（有界性）　收敛数列必有界. 即如果数列{xn}收敛，则必存在M>0，使得对于一切n=1，2，…，恒有|xn|≤M.

证　设，存在正整数N，当n>N时，总有

从而

即

取，则对于一切n=1，2，…，恒有|xn|≤M，表明收敛数列{xn}有界.

需要说明的是：（1）有界数列未必收敛，例如数列{（-1）n}；（2）无界数列一定是发散的. 如数列{n2}.

定义1.2.2　从数列{xn}中任选无限多项，并按下标从小到大排成一列，记作

xn1，xn2…，xnk…，

称此数列{xnk}为数列{xn}的一个子数列，简称子列.

特别地，数列{xn}的奇子列为

x1，x3，x5，…，x2n-1，…，

偶子列为

x2，x4，x6，…，x2n，….

定理1.2.3　数列{xn}收敛于A的充分必要条件是数列{xn}的奇子列和偶子列都收敛于A.

证　（必要性）由于，所以对∀ε>0，存在正整数N，当n>N时，总有

|xn-A|<ε，

而此时2n-1>N，2n>N，故有

|x2n-1-A|<ε，|x2n-A|<ε，

所以

（必要性）如果，则对于∀ε>0，存在正整数N1，N2，当n>N1时，总有

|x2n-1-A|<ε，

当n>N2时，总有

|x2n-A|<ε.

取N=max{2N1-1，2N2}，当n>N时，不论n为奇数还是偶数，总有

|xn-A|<ε，

所以

进一步，我们可以将定理1.2.3推广得到

定理1.2.4　数列{xn}收敛于A的充分必要条件是数列{xn}的所有子列都收敛于A.

证　（必要性）设数列{xnk}是数列{xn}的任一子列.

由于，所以对∀ε>0，存在正整数N，当n>N时，总有|xn-A|<ε.

取K=N，则当k>K时，nk>nK=nN≥N，于是|xnk-A|<ε.. 这就证明了.

（充分性）若数列{xn}的所有子列都收敛于A，则{xn}的奇子列和偶子列都收敛于A，由定理1.2.3可知数列{xn}收敛于A.

定理1.2.4表明：如果数列{xn}存在一个发散的子列，或存在两个收敛但极限不等的子列，则{xn}一定发散. 另外，发散数列可能存在收敛的子列. 如发散数列{（-1）n}的偶子列{1}收敛于1，奇子列{-1}收敛于-1.

习题1-2

1. 观察下列数列的变化趋势，对存在极限的数列，写出它的极限.

2. 求下列极限：

3. （1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？

（2）无界数列是否一定发散？

（3）有界数列是否一定收敛？

4. 设数列{xn}有界，又.

5. 对于数列{xn}，若x2k-1→a（k→∞），x2k→a（k→∞），证明xn→a（n→∞）.