第四节　另两位代数学之父

在第二节中，我们介绍了两位代数学之父。一位是丢番图，赢得这一称号主要是因为他引入了未知数，创设了未知数的符号，并有建立方程的思想。另一位是花拉子密，他主要凭借系统论述了求解一次、二次方程的方法而享有这一美誉。除这两人外，历史上还有两位数学家被冠以“代数学之父”，他们是韦达与高斯。我们在这一节就来介绍这两位及其在代数学方面的贡献。

韦达与符号代数

韦达（1540—1603），是 16 世纪最伟大的数学家。韦达不是专职数学家，他本行是律师，并从事政治活动，曾以律师身份在法国议会里工作。但他几乎把所有的空闲时间都用在了数学研究上。他专注数学到什么程度呢？有时解决某些问题，可以连续几夜不睡。

韦达

关于韦达有一些迷人的趣事。比利时一个外交官向法国国王亨利四世夸耀说，法国没有一个数学家能解他们国家罗曼纽斯（1561—1615）在 1593 年提出的问题，它需要求解一个 45 次方程。国王召来韦达，让他看了方程。韦达发现它关联着三角函数，几分钟就给出了两个根，接着解出了另外 21 个根，忽略了负根。之后，韦达挑战罗曼纽斯，让他解阿波罗尼奥斯的问题（画一个圆与三个给定的圆相切），但罗曼纽斯没能用欧几里得的方法得到解。当他看了韦达的绝妙解法后，就去拜访韦达，两人发展出一段真诚的友谊。

另一个故事是，在法国与西班牙的战争中，韦达成功破译了西班牙的几百字的密码，使法国在两年的对西战争中赢得了先机。然而，西班牙国王菲利普二世根本不信有人能破解那个密码，于是他向教皇抱怨说法国人用魔法对抗他的国家。

韦达一生写了大量三角、代数和几何的书，多数都是自费印刷发行的。他最主要的贡献表现在代数方面。

韦达最为我们所熟悉的成就是他关于根与系数关系的发现，事实上，一般人知道韦达的名字正是由于这一结论被命名为“韦达定理”。韦达定理在 1591 年完成，在韦达去世后才出版的一本书中公布：二次方程中，如果第二项的系数是两数和的相反数，第三项的系数是这两数的乘积，那么这两个数就是这个方程的根。用我们所熟悉的现代形式表示就是，设 是二次方程 的两个根，则 。

后来，人们把韦达定理推广到更高次的方程。一般情形的一元 次方程的根与系数的关系，是由荷兰数学家吉拉德于 1629 年提出的，其证明则是在笛卡儿于 1637 年提出因式定理、高斯于 1799 年证明了代数基本定理以后才完成的。

在方程论方面，韦达的另一成就是改进了三次和四次方程的解法。如缺项三次方程 ，韦达解法的思路如下：令 ，则方程变为 。经整理后，得出 ，这个以 为未知量的二次方程可解。求得 后，再求 与 即可。

韦达在代数学方面更重要的贡献，则是他在丢番图的启发下引入了符号代数思想。

1591 年，韦达发表其代表作《分析术引论》。与以往曾有人偶然地用到字母与符号不同，韦达是第一个有意识且系统使用了字母与符号的人。由此，他创立了一般的符号代数。在他手中，字母不仅用于表示未知量或未知量的幂，而且用以表示一般的系数。

在前面的介绍中，我们看到从古埃及和古巴比伦时代起，数学家们仅解决带有数字系数的一次、二次、三次和四次方程。因而，像 和 这两个方程被认为是不一样的，尽管很明显地存在着一种同样的方法来解决这两个方程。此外，为了避免负数，在很长的一段时期内，人们将诸如 这样的方程用 的形式来处理，这样，同次方程中就有许多种类型并且每一种都要分别求解。而当韦达首先引入字母系数（并接受负系数）后，所有的二次方程便可以统一写成 的形式并用统一的方式来处理。在这里， 、 、 这些字母系数可以表示任意数， 则代表未知量。

韦达将新型的代数叫作“类的运算”，以区别于数字计算。他清楚，当研究一般二次方程 时，他所处理的是完整一类的表达式。在书中，他还划分了算术与代数的界限。在他看来，代数是作用于事物的类别或形式上的方法，是类的运算。而算术和数字系数的方程则是与数打交道，是数字计算。通过引入类的运算，韦达在代数学的发展中迈出了一大步，他使代数成了研究一般的类和方程的学问。

这种处理的明显优点是我们所熟悉的：如果证明了某种求解 的方法是正确的，那么，这种方法就可以确保求解无穷多个具体方程的正确性。这就使代数证明的普遍性成为可能。

不过，韦达的代数符号与现代符号仍相去甚远，其书中所记载的方程形式和现在的还有很大差别。对于习惯于现代数学的读者来说，他选用的符号并不优良，他用辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量的方法没有沿用下来。用 、 、 表示已知量， 、 、 表示未知量的习惯用法是法国数学家笛卡儿继韦达之后提出的。另外，韦达书中还附有过多的文字说明（如相等、相乘等没有专用符号，而是用文辞表示）。举一个例子，方程 ，在韦达的书中表示为：1C + 30Q + 44N，aequatur 1560。在韦达之后，数学符号继续被引入，符号体系不断得到改进和完善，最终形成了我们现在所熟悉的代数符号体系，其中 17~18 世纪的笛卡儿、莱布尼茨和欧拉等都在这方面做出过重要的贡献。

尽管如此，韦达的确是朝着用字母表示方程的方向迈出了非常重要的一步，而他在建立代数符号体系方面所做出的卓越贡献彻底改变了代数学的面貌，因此他被称为“代数学之父”。如果认为代数学本质上最大的变革是从符号体系方面开始的，那么作为符号代数奠基者的韦达获得这一称号是名副其实的。

高斯与代数基本定理

一个代数方程是否总有解？如果把数系的范围限制在整数、有理数甚至实数内，我们无法保证这一点。最简单的例子是， 在整数、有理数甚至实数范围为无解。那么，在复数范围内考虑，情况又将如何呢？许多人猜测答案是肯定的。1746 年，达朗贝尔给出这一结果的一个不太严格的证明。1799 年，22 岁的高斯在其博士论文中第一个较严格地证明了：实系数的 次方程总是包含至少一个复根。当然，在迈出这困难的一步后，人们进而较容易地推出 次方程有且仅有 个复根（重根按重数计算）。

在高斯的证明之后，柯西等数学家又给出了若干证明。而充分认识到这一结果重要性的高斯本人在 1815 年、1816 年给出了另外两个证明。最初人们的证明都假定系数是实数，即任意实系数多项式方程至少存在一个复根。1849 年在庆祝取得博士学位 50 周年的纪念会上，高斯发表了这一结论的第四个证明。这一证明首次把方程的系数推广到复数，即高斯证明了：任意复系数多项式方程至少存在一个复根。容易知道，正系数的方程，根可能不是正数。整系数的方程，根可能不是整数。有理系数的方程，根可能不是有理数。实系数的方程，根可能不是实数。但复系数代数方程，它的根还是复数。利用代数方程，没法使复数家族增加新成员了，这叫作“复数系统的代数封闭性”。

“一元 次方程至少有一个复根”这一在方程论中具有中心地位的结论，被称为代数基本定理。这个名称源于当时方程理论和代数学基本就是一回事，而这一定理保证了代数方程根的存在性。

代数基本定理的获证在代数学发展史上具有里程碑的意义。利用这一结果，人们可以很快推出其他结果，如一个 次多项式能分解成线性因式的乘积，任何实系数多项式可表示成一次和二次实系数因式的乘积等。而高斯正因为在证明这一定理中做出了关键性贡献，所以有数学史家也把高斯称为“代数学之父”。

代数基本定理的证明，产生了多方面的影响。

一方面，这一定理的成立必须依赖于数系的扩充。数系的扩充是贯穿于数学历史的一条明显的红线。但与人们通常的想象不同，数系的扩充经历了极其漫长、复杂、曲折的过程。我们以负数、复数的引入为例简单说明一下。

古代中国，最晚到公元 1 世纪下半叶，已经有了明确的负数概念。但在西方，负数概念被认可经历了极长的时间。比如，17 世纪的法国著名数学家帕斯卡仍认为：“从 0 减去 4 纯粹是胡说。”

但当面对负数能否作为方程的系数与方程的根这一问题时，东西方态度则非常一致，他们都持小心翼翼的否定态度。

在方程系数方面，我们现在对其正负不作区分。比如说，二次方程的一般形式我们可以记作 ，其中的系数 、 、 可正可负，就是说我们对系数的正负是一视同仁的。然而在古代，东西方迈出这一步都非常不容易。我们已经提到，花拉子密和卡尔丹在解二次、三次方程时，都限定系数为正。这一点到代数学之父韦达时，尚无改变，他拒绝用字母系数表示负数。直到 17 世纪中叶，西方才有数学家允许字母系数既可以代表正数，又可以代表负数。在此以后，西方人才慢慢接受了负系数。在我国，直到宋元时期，才逐步在方程中引入了负系数。

在方程的根方面，我们现在既取正根，也取负根。但在数学发展史上，迈出这一步同样经历了漫长的岁月。如西方历史上第一个引入负数运算的丢番图，只接受正有理根，负根与无理根都被他忽略。之后的长时期内，多数西方数学家都拒绝接受方程的负根。比如，韦达在解方程碰到负根时就把它舍去。在我国，从产生负数的公元 1 世纪到数学最鼎盛的宋元时期，在对待方程的负数根方面采取的态度也都是不予考虑。

随着数学家最终接受负数，负数在数学中的重要性与必要性得以体现。在前面章节，我们已经看到花拉子密、卡尔丹在处理方程时，因为没有负系数的思想而不得不把我们现在看来相同的方程分为不同的类型，从而带来许多不必要的复杂，并使方程求解变得烦琐不堪。通过古今这种繁简的强烈对比，我们应能从中领略到负数引入的必要性。此外，引入负数后，许多无解的方程也有了解。

下面再来简单看一下复数的引入。

如我们所熟悉的，在解二次方程时就会遇到负数开平方问题。然而，复数的引入却是解三次方程的产物。事实上，人们早期遇到 之类的方程时，采用的方式是回避，即认为这样的方程无解。事情的转折来自卡尔丹三次方程求根公式的发表。比如我们考虑一下三次方程 。利用卡尔丹公式可以得到 。要知道 16 世纪数学家对负数尚持怀疑态度，公式中出

现负数的平方根在当时的数学家看来绝对是荒谬与不可接受的。那么，能否使用曾有效的回避办法，将这一方程当作不可解的三次方程而予以排除呢？就像人们不承认负数，就避开 之类的问题一样。然而，这一次事情似乎更麻烦。因为对上面这个三次方程来说，恰恰可以很容易验证出它有三个不同的完美实数根：4 及另外两个实根 。所以，现在的困难在于，我们没有理由抛弃上述的方程，即认为它没有解或者不值得解，而是应该去寻找一种解释，说明为什么我们的根式解与真正解之间存在着似乎不可调和的矛盾。后来，人们认识到，在用求根公式解三次方程时不可避免要陷入一类新数的困惑之中。特别是，如上面例子所见到的，当三次方程的三个根是互不相同的实数时，用卡尔丹公式得到的结果是由两部分都含有根号下负的数组成，疑难无可避免。卡尔丹在书中指出了这类疑难的存在并进行了一些研究但并未解决。后来，意大利数学家邦贝利迈出了勇敢的一步。在 1572 年的论文中，他接受一类新的数即我们现在所称的“虚数”，通过熟练应用这类虚数，他发现可以得到方程 的实数解。于是，虚数成为运载数学家从实数三次方程到达其实数解的必要工具。也就是说，人们从熟悉的实数领域出发并最终回到实数，但中途须进入一个当时人们不熟悉的虚数世界以完成这一旅程。这种处理方式对当时数学家来说有些不可思议，然而却可以在形式上有效地解决用卡尔丹公式解三次方程出现的矛盾。于是，邦贝利的新思想及由之产生的新方法，使人们在一定程度上开始认真看待复数。复数作为一种有用的工具，被数学家引入了，此后它被数学家们越来越熟练地使用。然而，即使到了数学家已经对复数的运算达到相当熟练的程度，复数作为数的地位仍然无法得到确立。

代数基本定理的认识与证明为普遍认可复数提供了新的理由与推动力。正如我们已经看到的，历史上容许哪些根不容许哪些根一直是有争议的。在 16、17 世纪，甚至到 19 世纪，许多数学家不仅反对虚根，连负根也不接纳。如此一来，同样是二次方程，就可能出现二个根、一个根或者没有根等多种情况。这种偏狭的见解最终还是被宽容的意见所取代，即把复根都包括在内。在这种宽容的观念下，产生了美妙的结论：“一元 次方程有且仅有 个根（重根按重数计算）。”这一漂亮的结果使数学形成一种完美的理论，但它必须接受复数的存在，即结论是建立在复数基础上的。于是，代数基本定理的证明巩固了复数的地位。

代数基本定理的证明产生的另一个影响，体现了它是一种存在性证明。在此之前，人们更习惯于一种构造性证明。换句话说，以前的存在性大多是通过实际获得或显示出问题中的量而建立起来的。例如，二次方程解的存在性，是通过求根公式把满足方程的解显示出来。而高斯探讨代数基本定理的方法与之迥然不同，他开创了探讨数学中整个存在性问题的新途径。这种证明告诉世人宝藏的存在，但并未说明其藏宝地点。因此，根据已经证明的代数基本定理，人们只知道方程的解一定是存在的。然而，这些存在的解是否都能用公式表示出来，高斯等人的证明没有对此透露任何信息。

当然，如上面已经介绍的，到 16 世纪时，数学家们已经能够对五次以下的方程给出根式解。于是剩下的问题是，五次或更高次方程是否也存在这样的根式解。对这一问题的思考自 16 世纪起困惑了数学界 200 多年，直到 19 世纪才被彻底解决。这正是我们下一节要探讨的问题。