2.5 物体的重心、质心与形心

由物理学可知，地球上物体中的每一微小部分所受的重力都指向地心，该分布力系可视为平行力系，而平行力系可简化为一合力，合力的大小就是物体的重量，合力的作用点就是物体的重心。重心在工程实际中具有重要的意义，本节重点讨论重心位置的确定方法。

如图2.29所示，物体内任一微小部分的位置矢径为r_i，所受重力为G_i，重心C的矢径为r_C，总重力G就是所有微重力的合力，即

G=∑G_i

由合力矩定理得 r_C×G=∑r_i×G_i

即r_C×Gk=∑r_i×G_ik（k为z轴的单位矢量，G=Gk）

此即物体重心位置矢径公式，将式（2.22）在正交坐标轴上投影，得重心位置的直角坐标公式，即

若将G_i=m_ig、G=mg代入式(2.23)，则重力加速度g为常数时，可得质心位置的直角坐标公式，即

若将m_i=V_iρ（V_i为微元体积，ρ为密度）代入式（2.24），则当ρ为常数时，m=Vρ（V为物体体积），此时物体的质心位置只取决于其形状，称为形心。

形心位置的直角坐标公式，即

可见，当g、ρ同时为常数时，物体的重心、质心、形心三个位置重合。

当物体为均质等厚平板时，A为平板的总面积，A_i为微元面积，将板面置于xOy平面，约去厚度，得到平板形心的坐标公式，即

当物体被分割的微元部分趋近于零时，上述各式中的有限求和便成为定积分。如形心公式为

确定物体重心（质心、形心）常见的方法如下。

1.积分法

若均质物体具有对称面、对称轴、对称中心，不难证明该物体的重心必然相应地在这个对称面、对称轴和对称中心上。

【例2.7】 试求图示由抛物线y=x²和直线y=a（a为常数）围起图形的重心。

解：由于该图形关于y轴对称，故重心必在y轴上，即x_C=0，现在只需求出y_C。

将该面积分成如图2.30所示的无穷小的面积（可看成矩形）

根据式（2.26）可得

故该图形重心位置为。

2.组合法

若一个物体由几个简单物体组合而成，而这些简单物体的重心位置是已知的，那么整个物体的重心位置可用式(2.23)求出。

【例2.8】 试求图示Z形截面形心的位置。

解：如图2.31所示，建立坐标，将图形分割为三个矩形。以C₁（x₁,y₁）、C₂（x₂,y₂）、C₃（x₃,y₃）表示各自的形心，以A₁、A₂、A₃表示它们的面积。

由图可得

x₁=-15，y₁=45，A₁=300

x₂=5，y₂=30，A₁=400

x₃=15，y₃=5，A₁=300

由式（2.26）得该截面形心的坐标x_C、y_C为

3.试验法

工程中一些外形复杂或质量分布不均的物体难以用计算的方法求其重心，此时可用试验法测定，常见的有悬挂法和称重法。

（1）悬挂法。如需求一薄板的重心，可先将其悬挂于任一点A，如图2.32所示，根据二力平衡条件，重力P和柔索的拉力F_T必通过悬挂点A和重心的连线上。于是可以在板上画出此线。然后再将薄板悬挂于另一点B上同样可画出另一直线。两线的交点C就是薄板的重心。

（2）称重法。一些复杂的大型物体可用称重法确定其重心位置，以汽车为例，设一汽车重量为P，前后两轮间距为l，车轮半径r。现测汽车的重心C距地面高度为z_C和距后轮距离为x_C。

为了测定x_C，将汽车后轮放在地面上，前轮放在磅秤上，车身保持水平，如图2.33(a)所示。这时磅秤上的读数为F₁。因车身是平衡的，故

欲测定z_C，需将车的后轮抬到任意高度H，如图2.33(b)所示。这时磅秤的读数为F₂。同理得

由图中的几何关系可知

其中h为重心与后轮中心的高度差，h=z_C-r

把以上各关系式代入式(b)中，经整理后即得计算重心高度z_C的公式，即

常见简单均质几何体的重心见表2.1。