2．3　平衡微分方程

上节讨论了一点的应力状态，物体内各点的应力状态是不同的，其空间分布称为应力场，本节研究应力场的变化规律。为简单起见，对于如图2．1．2所示的空间应力微元体，假设与z轴垂直平面上的应力分量为0，即σz＝τzx＝τzy＝0，此时所有的非零应力分量都在Oxy平面上，空间微元体可以退化成平面微元体。先以此平面微元体情况为例，讨论物体处于平衡状态时应力与体力之间的相互关系，由此导出平衡微分方程。

在平面微元体情况下，只需要在Oxy平面上建立受力平衡方程即可。图2．3．1是从物体内取出的厚度为1，边长为dx、dy的平面微元体，微元体内受x、y方向的体力分别为Fbx、Fby。作用在两个负面上的应力分量为σij，它们是坐标的函数，两个正面的坐标比相应的负面分别增加了dx、dy，应力分量随之变化，这种变化可用泰勒级数展开来求解，例如ab面上的σx经过距离dx到dc面后变为

其中省略号表示忽略二阶以上的小量，同理可以求出微元体各个表面上的应力分量。

各应力分量必须要满足微元体静力平衡的要求，由∑Fx＝0得

化简后得到

同理由∑Fy＝0可得

式（2．3．1）即为平面问题的平衡方程。

对于空间（三维）应力状态的情况，可从受力物体中取出一微六面体单元，经过与平面微元体类似的推导，得到如下的平衡方程（推导过程可作为练习）：

上式即为三维情况下的平衡方程。

如果用张量分量来表示应力，并引入下标记号法，平衡方程式（2．3．2）可以简写为

由图2．3．1中单元体的力偶平衡方程还可以证明切应力互等定理式（2．2．3），即由∑Mz＝0得

根据上式，利用式（2．3．1），并略去高阶小量，得

三维情况下，还可得到切应力互等定理的其他两式，汇总即为