4.2 恒定元流的能量方程

4.2.1 理想液体元流能量方程

由于理想液体运动微分方程式（4.1）为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能求得其解。这些特定条件如下。

（1）恒定流动。有

（2）沿流线积分。设流线上的微元线段矢量dl=dxi+dyj+dzk，将dx、dy、dz分别乘理想液体运动微分方程式（4.1）的3个分式，然后将3个分式相加得

对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下列关系式成立，即

（3）质量力只有重力，则

fx=0, fy=0, fz=-g

根据以上积分条件，式（4.12）可简化为

（4）不可压缩均质液体，ρ=常数。式（4.13）可写为

对同一流线上的任意两点1、2，有

式（4.14）为理想液体运动微分方程沿流线的伯努利积分，式（4.15）、式（4.16）为重力场中理想液体沿流线的伯努利积分式，称为伯努利方程，又称理想液体元流能量方程。

由于元流的过水断面面积无限小，所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。推导方程引入的限定条件，就是理想液体元流（流线）伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理想液体；恒定流动；质量力只有重力；沿元流（流线）积分；不可压缩液体。

4.2.2 理想液体元流能量方程的几何意义和物理意义

1.理想液体元流能量方程的几何意义

z是元流过水断面中心点到基准面的高差，单位为m，称为位置水头。是元流过水断面处测压管液面到该过水断面中心点的高差，单位为m，称为压强水头。是元流过水断面处测压管液面到基准面的高差，称为测压管水头。

单位为m，称为速度水头。称为总水头。

理想液体元流能量方程的几何意义为：当理想不可压缩液体在重力场中作恒定流动时，沿同一元流（沿同一流线）液体的位置水头、压强水头和速度水头在流动过程中可以互相转化，但各过水断面的总水头保持不变。将元流各过水断面的总水头顶端连成一条线，称为总水头线。将元流各过水断面的测压管液面连成一条线，称为测压管水头线，如图4.4所示，理想液体的总水头线是一条水平线，而测压管水头线可升可降。

2.理想液体元流能量方程的物理意义

参考z的几何意义，很易理解mgz为元流的位置势能，而，则z表示单位重量液体所具有的位置势能，简称单位位能。因与z的单位相同，均为 m，同理可得：

表示单位重量液体所具有的压强势能，简称单位压能。

表示单位重量液体具有的总势能，简称单位总势能。

表示单位重量液体所具有的动能，简称单位动能。

表示单位重量液体所具有的机械能，简称单位机械能。

理想液体元流能量方程的物理意义为：当理想不可压缩液体在重力场中作恒定流动时，沿同一元流（沿同一流线）单位重量液体的位置势能、压强势能和动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和保持不变，即单位重量液体的机械能守恒，这就是理想液体的测压管水头线可升可降而总水头线是一条水平线的原因。

4.2.3 实际液体元流能量方程

实际液体都具有黏性，在流动过程中会产生流动阻力，克服阻力做功，液体的一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散，因此，实际液体的机械能沿程减小，总水头线沿程下降。根据能量守恒原理，实际液体元流的伯努利方程为

式中——实际液体元流单位重量液体从1—1过水断面流到2—2过水断面的机械能损失，称为元流的水头损失，m。