2.3　四元数理论

四元数是1843年由英国数学家Hamilton提出的，至今已一个半世纪。但在相当长的一段时间里，它没有为人们所重视，更没有得到实际的应用。直到20世纪后期，随着刚体力学理论的发展，人们发现利用四元数和四元数矩阵可以较好地处理刚体运动学，特别是刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题，从而使四元数在理论力学中开始获得应用。随之而来的，是四元数及四元数矩阵理论在其他应用领域的研究也渐渐活跃起来，如计算机动画、图像处理、阵列信号处理和谱分析等[1]。

2.3.1　四元数

定义2.3.1　设

其中，i、j、k代表虚部符号，代表实数域。若i、j、k满足乘法规则ij=-ji=k, i2=j2=k2=-1, jk=-kj=i, ki=-ik=j，则称q为Hamilton四元数（在一些文献中，存在不同于Hamilton四元数的运算规则，因为Hamilton四元数是研究最为广泛和深入的一种四元数，且一般文献所称四元数即指Hamilton四元数，所以本书若不加特殊声明，所称四元数均指Hamilton定义的四元数），称a为四元数q的实部，称ib+jc+kd为q的虚部。特别地，当c=d=0时，q就是复数了；进而，当b=c=d=0时，q就是实数了。故四元数是实数和复数的扩充。

q的共轭定义为，幅值定义为，倒数定义为。有时为了适应研究内容，也会定义，相应地则还有、、、、等。另外，q也可以用幅值和相位的关系来表示，其定义为

从Hamilton四元数的定义可以看出，如果改变i、j、k之间的运算定义规则，就可以出现其他不同于Hamilton四元数的定义。本书最主要的研究对象是Hamilton四元数，其次是国内称之为“超复数”的一种四元数，因为马全中先生在20世纪80年代就对它进行了深入的研究，也称其为“马氏四元数”。

“马氏四元数”所定义的乘法规则为：ij=ji=k, i2=j2=-k2=-1, jk=kj=-i, ki=ik=-j。很显然，“马氏四元数”满足乘法运算交换律。

此外，另一种不同于“马氏四元数”，但同样满足乘法交换律的四元数是由屈鹏展先生定义的“新四元数”。新四元数的乘法规则定义为：ik=ki=-1, jj=-1, jk=kj=-i, kk=-j, ii=j, ij=ji=k。

2.3.2　Hamilton四元数矩阵

设矩阵，(为四元数域)，则称X为m×n阶的四元数矩阵。本书主要用到的是四元数矩阵的复分解，因此，仅重点介绍四元数矩阵的复分解式与导出阵。

定义2.3.2　设X为m×n阶的四元数矩阵，则X可唯一地表示为

称为X在复数域上的分解式。也就是，任意一个四元数矩阵都可以唯一地由两个复数矩阵的组合表示。

定义2.3.3　设X为m×n阶的四元数矩阵，是X在复数域上的分解式，则称

或

为四元数矩阵X的复表示矩阵或X在复数域上的导出阵。

本书仅列出四元数矩阵X的复表示矩阵的两个重要性质：

（1）设，则，即四元数矩阵的秩是其复数域上的导出阵的1/2。

（2）设，f(x)为(为实数域)上的多项式，则

需要特别注意的是，四元数矩阵的复表示在形式上种类较多，虽然它们具有同样的性质，但在实际计算中，不同的复表示方法的中间计算结果会稍有区别。

2.3.3　Hamilton四元数矩阵的奇异值分解

设四元数矩阵，且秩为r，则四元数矩阵X的奇异值分解为

其中，U代表左四元数奇异向量矩阵，V代表右四元数奇异向量矩阵，Σr代表非零的实对角矩阵。

四元数矩阵X的奇异值分解还可以表示为

其中，un代表左四元数奇异向量，U的第n个列向量；vn代表的是右四元数奇异向量，V的第n个列向量；σn代表的是实奇异值。

实际上，四元数矩阵的奇异值分解与实数或复数的奇异值分解类似，都可以通过奇异值中的非零实奇异值的个数反映矩阵的秩。在信号处理中，常常可以利用奇异值分解所得秩的大小来确定原始信号的个数，从而进一步利用奇异值区分左四元数奇异向量矩阵中的左信号子空间和左噪声子空间及右四元数奇异向量矩阵中的右信号子空间和右噪声子空间，再利用信号子空间或噪声子空间求解原始信号参量。

假设四元数矩阵为含r个信号的数据矩阵且不含噪声，则X可以写为

其中，为对应于的左四元数奇异向量矩阵，且向量之间两两正交，也由它可以构造左信号子空间；为对应于0的左奇异向量矩阵，且向量之间两两正交，也由它可以构造左噪声子空间，且为对应于的右四元数奇异向量矩阵，且向量之间两两正交，由它也可以构造右信号子空间；为对应于0的右奇异向量矩阵，且向量之间两两正交，由它也可以构造右噪声子空间，且

四元数矩阵的奇异值分解一般是通过计算对应的复表示矩阵的奇异值分解后再构成的。首先，对Xσ进行奇异值分解，如下式：

其中，, 和可以写为

之后，就可以利用四元数矩阵的复表示计算四元数矩阵的奇异值分解了，步骤如下。

（1）对Xσ进行奇异值分解。

（2）X的左四元数奇异向量U的第n个列向量由Xσ的第n'=(2n-1)个左奇异向量按下式构成：

同理，X的右四元数奇异向量V的第n个列向量由Xσ的第n'=(2n-1)个右奇异向量按下式构成：

（3）Σr中第n个对角元素是Σ2r中第n'=(2n-1)个对角元素。

2.3.4　Hamilton四元数矩阵的右特征值分解

由于四元数乘法不满足乘法交换律，使得四元数矩阵的特征值分解比起实数或复数域的矩阵要复杂得多。

定义2.3.4　设四元数矩阵，若存在及，使得

则称λ为X的右（或左）特征值，而称α为X的属于右（或左）特征值λ的特征向量。如果λ既是X的右特征值，又是X的左特征值，则称λ为X的特征值。需要注意的是，四元数矩阵X的右特征值不一定是左特征值，反之左特征值也不一定是右特征值。

四元数矩阵X的右特征值一定存在，并且如果是四元数矩阵X的右特征值，其对应的右特征向量为，则也一定是四元数矩阵X的右特征值，而其对应的右特征向量为

对于一个n×n维的四元数矩阵，如果它的右特征值全为复数（虚部不为零），则它有2n个不同的右特征值，对应的右特征向量也有2n个，且都为n维，即所有右特征向量构成的四元数矩阵为n×2n维矩阵。根据四元数矩阵极大右（左）线性无关组和秩的定义，m×n维的四元数矩阵的秩一定不大于min(m,n)，所以，四元数域与复数或实数域中不同的是，不同右特征值之间的右特征向量并不能保证是线性无关的。

本书主要用到的是四元数矩阵的右特征值分解，并且要通过四元数矩阵的右特征向量构造信号子空间与噪声子空间。因此，必须要求四元数矩阵的右特征向量之间是两两正交的。根据四元数矩阵的谱分解定理，当四元数矩阵时，则存在，使

其中，是指X是一个自共轭矩阵，即；U代表四元数酉矩阵，四元数酉矩阵的定义与复数酉矩阵定义相同，因此U中的向量是两两正交的；为四元数矩阵X的右特征值，且皆为实数。

谱分解的定理可以这样理解：如果四元数矩阵X为自共轭矩阵，那么X一定有且只有n个实数右特征值，并且这n个实数右特征值对应的右特征向量之间一定是两两正交的。

四元数矩阵的右特征值分解一般是通过计算对应的复表示矩阵的特征值分解后再构成的。

假设

其中，a是属于特征值λ的特征向量。如果（虚部不为零），则也一定是的特征值。

由于，所以，对应于特征值（虚部不为零）的特征向量，同时也是的特征值；λ就是X的右特征值，设其对应的右特征向量为α，也是X的右特征值，设其对应的右特征向量为β。设对应于特征值（虚部不为零）的特征向量，其中，，四元数矩阵X属于右特征值λ的特征向量为，属于右特征值的特征向量