8.1 随机过程及统计
8.1.1 均值及方差
在随机响应分析中，激励信号、响应信号都是一个随机过程。随机过程指的是变量x（t）在任意具体时刻都是一个随机数，在多次采样过程中获取的信号样本如图8-1所示。
图8-1 随机过程x（t）的采样
在OptiStruct随机响应分析中，假定外激励及结构响应的随机过程都是“平稳”且“各态历经”的，即任意时刻的随机数x（t）都具有恒定的均值μ和方差σ2。
且任意时刻的统计特征 （μ和σ2）都可等效至任意时段采样信号的均值。
8.1.2 线性叠加性
在工程随机振动中，一般假定激励或响应信号近似满足高斯（正态）分布。记高斯随机过程x（t）满足均值为μ、标准差为σ的高斯分布，即x～N（μ,σ2）。
其概率密度函数为
高斯分布具有良好的线性叠加性质。例如，两组独立的随机载荷f1及f2各自满足高斯分布：
那么它们的线性组合也满足高斯分布：
OptiStruct结构动力学表达式为一个线性系统，而高斯随机过程的线性叠加性保证了在激励满足高斯随机过程时，响应也依然是高斯随机过程，因此结构的随机振动响应具有稳定的数值统计特征。
8.1.3 相关函数与功率谱
相关函数描述的是一个时间序列与另一个时间序列的相关程度。例如，正弦函数曲线沿时间轴平移一个周期以后与原函数完全相同，而平移0.5个周期后则与原函数完全相反。相关函数的数值描述的便是这一变化，它是时间延迟τ的函数。相关函数分为自相关函数与互相关函数两类。
1）自相关函数：用于描述信号x（t）自身在发生时延后的相关性。
2）互相关函数：用于描述两个信号x（t）与y（t）在发生时延后的相关性。
随机信号的一个重要统计特性是功率谱，它是信号在频域能量分布的统计曲线，与相关函数互为拉普拉斯变换对。对于时域随机信号x（t），它的自功率谱函数Sxx（ω）即傅里叶频谱x（ω）幅值的平方。
对式（8-8）及式（8-9）进行拉普拉斯变换，可以得到自相关函数Rxx（τ）与自功率谱Sxx（ω）满足拉普拉斯变换对的关系，互相关函数Rxy（τ）与互功率谱Sxy（ω）也满足拉普拉斯变换对的关系。
式中，s=jω；x（s）与y（s）表示信号的频响曲线；
表示取共轭复数对。
特别情况下，随机信号的自相关函数仅在τ为0时为常数σ2，其余时刻均为0；相应的随机信号自功率谱为
对于一般的随机激励f1（t）及f2（t），它们的互相关函数与互功率谱通常是不为零的，仅当随机激励f1（t）及f2（t）是相互独立（不相关）的情况下，互相关或互功率谱才为零。
OptiStruct中的随机激励功率谱采用RANDPS卡片进行定义。一般来说，随机激励功率谱由试验标准定义或由实测的时域激励曲线通过式（8-11）及式（8-12）生成。如果随机激励包含多个自由度（多节点或多方向），那么需要定义每个自由度上的自功率谱以及所有自由度之间的互功率谱。另外，工程应用中的频谱及功率谱曲线一般定义在正频率范围，即采用单边谱输入方式：
在OptiStruct随机响应分析中，要求输入的功率谱全部为单边谱
或全部为双边谱
。如果功率谱输入采用单边谱，那么输出的响应为单边谱；如果功率谱输入为双边谱，那么输出的响应为双边谱。