1.2.3　矩阵的乘法

定义1-8　设是一个矩阵，是一个矩阵，那么矩阵与的乘积是一个矩阵，记作，其中，

定义1-8表明，只有当左乘矩阵的列数等于右乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。此时，乘积矩阵的行数等于左乘矩阵的行数，列数等于右乘矩阵的列数，且的元就是左乘矩阵的第行与右乘矩阵的第列对应元素乘积之和。

例1-5　设，，求。

解：因为是矩阵，是矩阵，的列数等于的行数，所以与可以相乘，且乘积是一个矩阵，具体计算如下。

可以发现，的列数不等于的行数，因而无意义。

例1-6　设，，求与。

在式（1.2）中，若将系数矩阵记作，未知数矩阵记作，常数项矩阵记作，则式（1.2）可以用矩阵乘积表示为。

矩阵乘法运算的特殊性决定了它具有一些特殊性质。

矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，。比如，在例1-5中，有意义，却没有意义；在例1-6中，与都有意义，且是同阶方阵，但。由此可见，在矩阵乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序。

定义1-9　设有两个同阶方阵与，若，则称方阵与是可交换的。

例1-7　设，求与可交换的一切矩阵。

解：设与可交换的矩阵为，于是有

根据，即对应元素相等有

解得。因此与可交换的一切矩阵，其中为任意数。

尽管矩阵乘法不满足交换律，但满足如下运算规律。

性质1-1　设有矩阵及单位矩阵，其行数与列数使得下列相应的运算有意义，为数，则

（1）；

（2）；

（3）；；

（4）或简写为。

可见，单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用。

矩阵乘法不满足消去律，即若且，一般推不出。

定义1-10　设是阶方阵，记，其中为正整数，那么个矩阵的连乘积称为的次幂，记作。

根据矩阵乘法适合结合律，可知方阵的幂满足下列运算规律。

性质1-2　设是阶方阵，为正整数，则

（1）；

（2）。

例1-8　设，求。

解：，其中，，，由于，因此和代数中的二项式展开一样，有

又因为及，所以

数的乘法满足交换律，因此给定数a、b，有等重要公式，但矩阵乘法不满足交换律，所以一般地，，，。然而，当与可交换时，、、等公式必然成立。读者可自行证明。

定义1-11　把一个矩阵的行列互换，所得到的新矩阵称为的转置矩阵，记作或。

例如：列矩阵的转置矩阵为行矩阵。

矩阵的转置满足下列运算规律。

性质1-3　设矩阵、的行数与列数使相应的运算有意义，为数，则

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）为对称矩阵的充要条件是；为反对称矩阵的充要条件是。

例1-9　设，求。

解：因为，所以。

定义1-12　n阶方阵的元素按原来的位置所构成的行列式称为方阵的行列式，记作或。

必须注意，只有方阵才能构成行列式。例如：方阵，而行列式=。

方阵行列式满足下列运算规律。

性质1-4　设为n阶方阵，为数，则

（1）；

（2）；

（3）。

对于n阶方阵,，虽然一般有，但总有。

例1-10　设,都是3阶方阵，已知，，求。

解：因为，所以，因此。