1.3.3　向量组的秩

下面将介绍向量组的等价、极大线性无关组与秩等概念。

定义1-26　如果n维向量组A：中的每个向量都能被n维向量组：线性表出，则称向量组A可由向量组B线性表出。如果向量组A与向量组B可以互相线性表出，则称向量组A与向量组B等价。

由上述定义易知：向量组的任意子向量组可由向量组本身线性表出。任意n维向量组可由n维基本向量组：线性表出。特别地，空间直角坐标系中所有3维向量构成的向量组与基本向量组等价。

以下假定：，：，：都是维向量组。

如果向量组可由向量组线性表出，且向量组可由向量组线性表出，则向量组可由向量组线性表出。证明如下：

设，其中；，其中，则有

由此易证向量组的等价性，即向量组与向量组等价。

定理1-10　如果所含向量个数多的向量组:能被所含向量个数少的向量组:线性表出，则向量组一定线性相关。

由定理1-10可得以下推论。

推论1-4对同维的两个向量组：与：，如果向量组线性无关且能被向量组线性表出，则一定有。

推论1-5如果向量组：与：都线性无关，且向量组与等价，则一定有。

个n维向量总可由n维基本向量组：线性表出，因此有如下推论。

推论1-6　个n维向量一定线性相关。

定义1-27　向量组A的一个子向量组B称为它的极大线性无关组，如果：

（1）子向量组是线性无关的；

（2）任取向量组中一向量添进向量组后所得的向量组都线性相关。

不妨设向量组：的一个极大线性无关组为：，则由定义1-24知向量组一定线性相关，再由定理1-6知可由向量组线性表出，因此可证向量组中的每个向量可由的极大线性无关组线性表出。

n维基本向量组：作为全体维实向量组的线性无关子向量组，是的一个极大线性无关组，这是因为中任意一个向量都可以由：线性表出。值得注意的是，向量组的极大线性无关组一般来说并不唯一，如例1-25所示。

例1-25　设向量组，，，求它的极大线性无关组。

解：由知，，。由于与的分量不对应呈比例，所以线性无关，同理可知线性无关，也线性无关。因此是该向量组的极大线性无关组，且与是它的另两个极大线性无关组。

尽管向量组的极大线性无关组不一定唯一，但例1-25中的三个极大线性无关组中向量的个数都是2，这并非偶然，一般有如下结论。

定理1-11　①向量组与它的任意一个极大线性无关组等价，向量组中任意两个极大线性无关组等价；②向量组中任意两个极大线性无关组所包含的向量个数相等。

由定理1-11知，向量组中极大线性无关组所包含向量的个数是一个不变量，这个不变量直接反映向量组自身的特征，这就出现了向量组秩的概念。

定义1-28　向量组的极大线性无关组中所包含向量的个数称为向量组的秩，记作，简记为。

只含零向量的向量组没有极大线性无关组，因此规定其秩为零。

例1-25中向量组的秩为2；全体维实向量组的秩为。

定理1-12　如果向量组可以由向量组线性表出，则。

推论1-7　如果向量组与向量组等价，则。

值得注意的是，推论1-7反过来的结论未必成立，即秩相等的两个同维向量组不一定等价。如取向量组与，显然，但向量组与并不等价。