第1章　向量和向量空间

对于向量这个概念，你是不是感到既熟悉、又陌生？

熟悉，是因为在中学数学和物理中，都有这个概念。甚至在小学的数学中，也有向量的影子了——“数轴”已经包含了向量的思想。此外，在日常生活经验中也能感受到“向量”的含义，比如打开手机中的地图导航，会听到“向前行驶100米”，这就是生活中的向量。可以说我们与向量并非素不相识。

陌生，是因为线性代数中的向量并非那么直观，甚至超出人类大脑的想象能力，比如“n维空间”——一维、二维、三维空间，我们能够想象出来或者画出来，那么“n维”是什么样子的？超越了直觉，于是很多人对向量乃至于对线性代数、对数学望而却步，因为太抽象、不能触摸、无法想象，就觉得它高深莫测。

向量是线性代数的基本概念，而机器学习中的诸多算法又是以线性代数为工具的，由此推知，向量也是这些算法的基本概念。所以，对向量的认识就不能停留在“直觉感知”层面，必须深入下去，进入抽象层面。但是，抽象概念的建立，又不得不以直觉感知为基础。所以，本章会以“直觉感知”为起点，运用逻辑方法，最终达到建立抽象概念的目的。但内容又不会止步于此，否则本书就与数学教材无异了——好的数学教材也不都是抽象概念。本书还将演示这些貌似远离直觉的抽象概念在生产、生活，特别是在机器学习中的具体应用。

本章主要知识结构图