1.5 电路的等效变换

1-15 等效的概念和电阻等效

结构、元件参数可以完全不相同的两部分二端电路，若具有完全相同的外特性（即它们的端口电压、电流完全相等），则它们相互等效。

通俗地讲，“等效”指两个不同的事物作用于同一目标时的作用效果相同。例如，一台拖拉机拖动一节车厢，使车厢速度达到10m/s;5匹马拖动同样一节车厢，使该车厢的速度也达到10m/s。于是，对这一车厢而言，这台拖拉机和5匹马“等效”。这里不能把“等效”和“相等”混同，“等效”是指两个或几个事物对它们之外的某一事物作用效果相同，但其内部特性是不同的，即1台拖拉机不能等于5匹马。

注意：“等效”是电路理论中的一个概念，不同于真实电路中的“替换”。“等效”的目的是在进行电路分析时，简化分析过程，使电路易于理解。

1.5.1 电阻之间的等效变换

1.串联电阻的等效

两个或两个以上的电阻元件相串联时，等效电阻等于各串联电阻之和，即

从工程应用的角度重新理解电阻串联的意义，应了解电阻在实际电路中所起的主要作用。

首先，几个电阻相串联时，它们处在同一支路中，因此通过各电阻的电流相同；其次，串联电阻可提高支路阻值，当支路电压不变时，串联电阻可限制电流；最后，串联电阻可以分压，各串联电阻上分压的多少与其阻值成正比。由此可概括出串联电阻在工程实际中的作用——分压限流。

2.并联电阻的等效

电阻并联时，其等效电阻是各并联电阻倒数和的倒数，即

如果只有两个电阻并联，则其等效电阻为

如果n个阻值相同的电阻相并联，则其等效电阻为

工程实际中，利用并联电阻的形式可以实现分流，如电流表各挡位的分配就是靠并联电阻实现的；实际的办公用电器和家庭用电器额定电压都是220V，所以必须采用并联方式连接，而各用电器上的功率分配取决于它们的分流大小，功率大的用电器阻值小而分配的电流大，所以获得较大功率；功率小的用电器阻值较大而分配的电流就会小一些，功率也就相应小一些。

3.混联电阻的等效

在电路分析中，经常会遇到一些较为复杂的电阻网络，如图1.20（a）所示，其中既有电阻的并联又有电阻的串联，这样的连接方式称为混联。

对混联电阻电路的求解，目的显然也是化简电路，即解出混联电阻电路的等效电阻，如图1.20（b）所示。

分析：图1.20（a）所示混联电阻电路的求解，关键点是正确找到电路的结点。观察该电路，除了有A、B两个结点（端点都视为结点）之外，根据结点的概念，R1、R2和R5的汇集点也是一个结点，可定为C点。可以先把这几个结点的位置定下来，再观察各电阻的连接情况：R1和R2接在相同的结点上，显然它们可用并联电阻方法等效为一个R12，这样C点就取消了，R12和R5构成串联，其串联等效为R125,R125再和R4、R3关联。于是，混联电阻的等效电阻RAB为：

RAB=[(R1∥R2)+R5]∥R3∥R4

注意：当电路模型中两个或两个以上的结点之间只有无阻无感的理想导线时，这几个结点应视为同一结点，因为电路模型中的理想导线长度可以无限延长和无限缩短。

4.电阻网络与电阻△网络的等效

如果3个电阻的一端汇集于一个电路结点，另一端分别连接于3个不同的电路端钮上，则其构成的部分电路称为电阻网络，如图1.21（a）所示。如果3个电阻连接成一个闭环，由3个连接点分别引出3个接线端钮，则称为电阻△网络，如图1.21（b）所示。

电阻的网络和△网络都是通过3个端钮与外部电路相连接的（图中未画电路的其他部分），当它们的对应端钮之间具有相同的电压U12、U23和U31，而流入对应端钮的电流也分别相等时，称它们相互“等效”，等效的网络和△网络在电路分析过程中可以等效互换。

当一个电阻网络变换为电阻△网络时，有

当一个电阻△网络变换为电阻网络时，有

若电阻网络中的3个电阻值相等，则等效电阻△网络中的3个电阻也必定相等，即

例1.3 求图1.22所示电路的入端电阻RAB。

解：图1.22（a）所示电路由5个电阻元件构成，其中任何两个电阻元件之间都不具备串、并联关系，因此这是一个复杂电阻网络电路。

对这样一个复杂电阻网络的求解，其基本方法如下：假定A、B两端钮之间有一个理想电压源US，运用KCL和KVL对电路列出足够的方程式并从中解出输入端电流I，此时即可解出输入端电阻RAB=US/I。但这种方法求解的过程比较烦琐。

简单方法：把图1.22（a）虚线框中的电阻△网络变换为图1.22（b）虚线框中的电阻网络，即图1.22（a）中虚框内电阻△网络中的3个150Ω电阻用图1.22（b）中电阻网络中的3个50Ω电阻替换（注意，在替换过程中，3个端点的位置应保持不变）。对图1.22（b）利用电阻的串、并联公式，可方便地求出RAB，即

电阻网络与电阻△网络之间的等效变换，除了可以计算电路的入端电阻以外，还能较方便地解决实际电路中的其他问题。

1.5.2 电源之间的等效变换

1-16 电源之间的等效变换

理想电压源和理想电流源均为无穷大功率源，无穷大功率源实际上并不存在，也找不出它们的等效条件，因此理想电源之间无等效可言。

问题：将一个与内阻相并的电流源模型等效为一个与内阻相串的电压源模型，或是将一个与内阻相串的电压源模型等效为一个与内阻相并的电流源模型，等效互换的条件是什么？

图1.23所示为实际电源与负载所构成的电路。

对图1.23（a）所示电路列KVL方程式，设回路绕行方向为顺时针，则

对图1.23（b）所示电路列KCL方程式，则

将式（1.19）等号两端同时乘以Ri，可得

比较式（1.18）和式（1.19），两式都反映了负载端电压U与通过负载的电流I之间的关系，假设两个电源模型对负载 R 等效，则式（1.18）和式（1.19）中的各项应完全相同。于是可得到两种电源模型等效互换的条件是

注意：在进行上述等效变换时，一定要让电压源由“－”到“+”的方向与电流源电流的方向保持一致，这一点恰恰说明了实际电源上的电压、电流非关联的原则。

如图1.24（a）所示电路，当求解对象是R支路中的电流I时，观察电路可发现，该电路中的3个电阻之间无串、并联关系，因此判断此电路是一个复杂电路。显然，对于该电路要应用KCL和KVL列写方程式，并对方程式联立求解才能得出待求量。

但是，如果把电路中连接在A、B两点之间的两个电压源模型变换成电流源模型，如图1.24 （b）所示，再根据KCL及电阻的并联公式将两个电流源合并为一个，如图1.24（c）所示，原复杂电路就变成了一个简单电路，利用分流关系即可求出电流I。或者继续将图1.24（c）中的电流源模型等效变换为一个电压源模型，如图1.24（d）所示，利用欧姆定律也可求出电流I。

思考题

1.图1.24（a）所示电路中，设US1=2V,US2=4V,RU1= RU2= R=2Ω。求图1.24（c）所示电路中的理想电流源、图1.24（d）所示电路中的理想电压源发出的功率，再分别求出两个等效电路中负载R吸收的功率。根据计算结果，能得出什么样的结论？

2.用电阻的串、并联公式解释一下“等效”的真实含义。