1.2 多天线及波束赋形理论基础

无线链路的传输能力是由其信道容量所决定的，其中，信道是用来描述在一个（或多个）发射机和一个（或多个）接收机之间的线性时变通信系统的冲激响应。信道容量定义为信道中能够被接收端以任意小（可忽略）的差错概率恢复的发送信息速率极限。信道容量给出了特定信道条件下，通信双方之间信息传输速率的上界。同时在香农的编码定理中指出：当信道编码的长度趋于无限时，对于任意小于信道容量的传输速率，一定存在某种编码方式能够使码块与比特错误概率任意小。换言之，对于传输速率大于信道容量的通信系统而言，无差错传输是不可能的。

假设无记忆单输入单输出（SISO，Single Input Single Output）信道的输入为随机变量X，其分布率为p（x），输出为随机变量Y，则信道容量C可以由式（1-1）表示。

其中，I（X;Y）表示输入X与输出Y之间的互信息量。互信息量是由集合Y中事件出现所给出的关于集合X中事件出现的信息量的平均值。式（1-1）的含义是：信道容量C为所有可能的输入分布中，每个符号含有的平均互信息量所能达到的最大值，相应的输入分布形式称为最佳分布。X，Y之间的互信息量由式（1-2）以熵和条件熵的形式给出。

H（X）表示X的平均信息量，H（X|Y）则表示集合X相对集合Y的条件熵。式（1-2）表示互信息量I（X;Y）等于输入集合X的平均不确定性H（X）减去观察到输出Y后，集合X还保留的不确定性H（X|Y）。H（X|Y）通常称为含糊度、疑义度或存疑度。给定集合X的条件下，含糊度越大则得到的信息量越少。同时平均互信息量还等于观察到Y后获得的信息量，或集合Y的不确定性H（Y）减去发送X的条件下，由于受到干扰的影响而使观察到的Y存在的平均不确定性H（Y|X）。H（Y|X）通常称为散布度，干扰越严重，散布度越大，得到的信息量越少。从式（1-2）中可以看出，X、Y之间的互信息量与信道的传输特性以及输入X的分布有关。

在发射功率限制为PT的约束条件下，信道容量由式（1-3）表示。

其中，E{·}表示均值。这时信道容量表示满足发射功率限制的条件下，在所有可能的输入分布中所能达到的最大互信息量。

加性高斯白噪声信道的信道容量由著名的香农定理给出。

其中，ρ为接收信噪比。如果信道随机变化，则瞬时信噪比是一个随信道实现而变化的随机变量，因此衰落信道中的信道容量也是随机变量。接收端确知信道状态信息时的瞬态信道容量为

式（1-5）中，h为信道的复传输系数。需要说明的是，式（1-5）中的结论仅针对无记忆信道。

对于记忆信道，假设信道冲击响应的l阶抽头延迟线模型为

将输入信号与加性噪声的功率谱密度分别记为Sx（f）与Sn（f），将信道的频率响应记为H（f）。记忆信道中的信道容量为

考虑一个使用M个发射天线，N个接收天线的MIMO通信链路，发送信号向量与接收信号向量分别记为，其中[·]T表示矩阵的转置。假设信号带宽相对于信道相关带宽足够窄，以至于可以认为在信号所使用的频带内，信道传输特性的频率响应是平坦的，此时信号与信道冲击响应的卷积等效于信号与信道传输系数的乘积。任一发射天线发送的信号都会经过不同的传输路径被接收天线阵列的所有阵元接收到，将第j个发射天线至第i个接收天线的复信道传输系数记为hi,j，这样发送信号向量与接收信号向量之间由N×M阶复基带信道传输矩阵建立起对应关系。将链路中的加性噪声向量记为，假设其分量为独立同分布的复高斯随机变量，其均值零方差为，即满足，其中IN表示N阶单位阵。由此可以将MIMO链路的复基带信号模型表示为

为了公平地与SISO系统进行对比，我们将总的发射功率限定为PT，而不考虑发射天线数量。定义为平均每个接收天线上的信噪比。

总发射功率限制为PT的条件下，MIMO链路的瞬态信道容量由式（1-9）表示。

其中，为输入信号向量的协方差矩阵，tr（·）表示矩阵的迹，即主对角线元素之和。由文献[3]可知，当发送方不能获知信道状态信息时，在M个发送天线上平均分配发射功率能够使互信息最大化，此时s满足。假设接收方确知信道传输矩阵而发送方未知信道状态信息，此时MIMO链路的互信息可以表示为

其中，HC（·）表示连续随机变量的相对熵或称微分熵。一般情况下，发送信号向量与噪声向量相互独立，因而式（1-10）可以进一步写成

根据相对熵最大化理论[4]，对于给定的方差，当r服从正态分布时可以使HC（r）最大化。当为实数向量，且均值为0，协方差矩阵为Φr时，，其中，det（·）为方阵的行列式。对于复高斯向量，HC（r）的最大值[3]为log2[det（πeΦr）]，其中

最大化的互信息为

如果在M个发射天线上平均分配发射功率，则式（1-13）可以写成

式（1-14）就是E.Telatar[3]与G.J.Foshini[5]推导出的MIMO信道容量公式。

设H的秩为k，则由HHH的Hermite性可以得出式（1-15）

当天线数量较大的情况下，信道容量近似随k线性增长[4]

这时MIMO的信道容量约为SISO系统的k倍，因此k是决定MIMO信道容量的一个重要因素。

存在对存在N阶酉阵U与M阶酉阵V使。其中

而为H的非零奇异值。由此可知H=UΣVH，将H的奇异值分解（SVD，Singular Value Decomposition）代入式（1-14）得到

其中，表示的特征值，由特征值的定义可知

因此MIMO系统的信道容量又可以表示为

将式（1-19）与式（1-5）相比较，可以看出MIMO的信道容量相当于若干条并行子信道的信道容量之和，而各个子信道的传输能力由所决定。k的取值与的分布是MIMO信道的特有参量，而k值与的分布情况取决于传播环境、天线阵参数等诸多因素。在某些信道状态中，可能会出现各个子信道传输能力很不均衡的情况，这时候如果能够依照各个子信道的对功率分配进行优化（例如，通过注水算法[5-6]）或者对速率分配进行优化，就能够获得明显优于平均分配功率、速率时的互信息，但是这需要发送方确知信道状态信息。

相比于一般的物理层技术而言，多天线技术在改善频带资源利用效率以及传输的可靠性方面，有着无与伦比的优势。根据具体的信道条件、干扰和噪声情况、业务需求以及发射机侧可以获得的信道状态信息准确程度，对上述并行数据通道的利用方式大致可以包括空分复用（Spatial Multiplexing）、发射分集（Transmit Diversity）和波束赋形（Beamforming）；空分复用技术可以利用多个天线构成的并行信道传输不同的数据流，从而直接提升数据传输速率；发射分集技术则可以利用并行通道传输相同的数据或具有一定冗余度的数据，以此提升传输的可靠性，目的是抗衰落；波束赋形技术可以根据发射机侧掌握的信道状态信息，选择传输质量最好的通道，并将所有的信息和能量馈送到此通道之中，即通过将能量集中到某个特定的方向从而直接提高接收信号的信噪比（SNR）。MIMO系统的信号模型如图1-3所示。

其中，对信道状态信息的掌握，在很大程度上决定了所能采用的MIMO传输方式。具体而言，信道状态信息大致包含以下几类：并行的数据通道数量决定了MIMO信道所能支持的独立数据流数；每个管道的“口径”决定了每个通道所能支持的数据传输速率；此外，每个数据通道还有相应的空间分布特性，只有在发送端将每个数据流馈送到与数据通道相匹配的空间，同时接收机在相应的空间进行接收，才能真正实现对每个数据通道传输能力的充分利用。

在上述过程中，根据并行管道数量对传输流数的调整称为秩自适应；根据每个管道的“口径”分别调整数据速率的操作称为自适应调制编码；而根据每个通道的空间分布特性在发射机侧调整信号传输的空间分布特性，并在接收机侧调整信号接收的空间选择性的过程，可以分别称为预编码（或波束赋形）以及MIMO检测。这些步骤都是MIMO技术方案设计与研究的核心问题。