2.3.2　参数方程表达举例

现在讨论参数方程表示下平面曲线的变分问题．

假设光滑的平面曲线的参数方程表示如下：

这条曲线L是泛函

的“极小点”．为讨论方便起见，假设泛函定义在连续可导函数集合（C1[α, β]）2=（C1[α, β]）×（C1[α, β]）上，集合的元素满足边界条件

与直角坐标形式下类似，选取齐次边界条件的摄动函数（组）

假设L就是极小值函数曲线，那么摄动后的展开式如下：

得到泛函

当ε=0时极小点也是驻点，曲线L满足泛函

这里利用了摄动向量{φ1，ψ1}的齐次边界条件．再利用摄动向量的任意性和定理1.5即可得到泛函式（2-22）的驻点的必要条件

这正是曲线在参数方程表示下泛函式（2-22）对应的欧拉－拉格朗日方程．

例2.2　等周问题的解满足

解　回看等周问题的带有约束的泛函式（2-7）

这里的

其相应的欧拉－拉格朗日方程变成

和

对两个方程进行首次积分得到

分别将上面两式乘以φ′和ψ′，再相加得到

φ φ′-C1φ′+ψ ψ′-C2ψ=0

再次积分得到

因此，可得出等周问题的必要解是圆周，也就是式（2-24）．式（2-26）中的常数C1、C2和C可以依据边界条件和围成区域的曲线长度确定，这里略去讨论．